[비트코인 암호학] 2.2 유한체에서의 타원곡선

[비트코인 암호학] 2.1 유한체

먼저 지금까지 알아봤던 내용을 정리해보겠습니다.

 

1. 타원곡선의 점 덧셈

 다음과 같은 타원곡선과 두 점 A와 B가 존재할 때, 타원곡선의 점 덧셈은 크게 4가지 경우로 나눌 수 있었습니다.

 

 (1) 점 A와 B가 서로 x축 대칭인 경우

 점 덧셈 결과는 무한원점 입니다.

 

 (2) 점 A와 B가 서로 x축 대칭이 아니면서 다른 점일 경우

 점 덧셈 결과는 다음과 같습니다.

 

 (3) 점 A와 B가 같은 점일 경우

 

점 덧셈 결과는 다음과 같습니다.

 

 (4) 점 A와 B가 같은 점이면서 점의 y좌표가 0인 경우

 점 덧셈 결과는 무한원점 입니다.

 

2. 유한체에서의 연산

 이전 글에서 위수 p의 유한체에 대하여 유한체의 원소 a와 b에 대한 연산을 다음과 같이 정의하였습니다.

 

3. 유한체에서의 타원곡선 점 덧셈

 유한체에서 정의한 연산 방식을 타원곡선에 적용하면 다음과 같이 유한체에서의 타원곡선 방정식을 얻을 수 있습니다.

 또한 유한체에서 정의한 연산 방식을 타원곡선의 점 덧셈에 그대로 적용하면 유한체에서의 타원곡선 점 덧셈 값을 구할 수 있습니다. 계산 결과가 무한원점인 경우는 특별히 변경해야 할 점이 없기 때문에, 덧셈 결과가 무한원점이 아닌 경우에만 새롭게 정리하겠습니다.

(1) 점 A와 B가 서로 x축 대칭이 아니면서 다른 점일 경우

 이 경우에서 기존 점 덧셈 공식은 다음과 같았습니다.

 이 공식에 유한체에서의 연산 방식을 그대로 적용합니다.

 그리고 위 식을 정리하면 됩니다.

(2) 점 A와 B가 y가 0이 아니면서 같은 점일 경우

 1번과 같은 방식으로 정리하면 됩니다.

 

 

 지금까지 유한체에서의 타원곡선 위의 점 A와 B에 대한 점 덧셈 방법에 대해 알아봤습니다. 다음 글에서는 이러한 점 덧셈을 이용하여 타원곡선의 스칼라 곱셈을 정의해보겠습니다.

[비트코인 암호학] 2.3 타원곡선의 스칼라 곱셈