[비트코인 암호학] 2.3 타원곡선의 스칼라 곱셈

[비트코인 암호학] 2.2 유한체에서의 타원곡선

 이전 글에서 유한체의 타원곡선의 점 덧셈에 대해 알아봤습니다. 해당 내용을 정리하면 다음과 같습니다.

 

(1)

---

(2)

---

(3)

---

(4)

 

 이를 이용하면 유한체 타원곡선의 스칼라 곱셈을 정의할 수 있습니다. 곱셈은 기본적으로 어떠한 수를 여러 번 더하는 것입니다. 예를 들어 3을 세 번 더한 3+3+3은 3x3으로 표현할 수 있습니다. 이와 비슷하게 점 덧셈에서도 여러 번 반복해서 점 덧셈하는 것을 스칼라 값과의 곱으로 표현할 수 있습니다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 만약 A를 n번 더한다면 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 실제로 스칼라 곱셈을 해보겠습니다. 먼저 다음과 같이 타원곡선의 방정식과 위수 p가 주어진 상태에서 점 A를 선정하겠습니다.

그리고 점 A를 곱해보겠습니다.

 위 스칼라 곱셈 결과처럼 어떤 점 A에 대하여 점 덧셈을 반복하면 무한원점에 도달하게 되고, 이후에는 이전 점 덧셈 결과가 반복되어 나타납니다. 따라서 점 A에 대해 다음과 같은 '군'을 얻을 수 있습니다.

 이를 일반화 하여 표현하면 다음과 같이 점 G에 대한 군으로 표현할 수 있습니다.

 여기서의 n값을 군의 위수라고 합니다.

 

 지금까지 ECDSA를 위한 기본적인 도구를 모두 다뤘습니다. 이 도구들을 모두 정리하면 다음과 같습니다.

•  a와 b는 타원곡선 방정식의 값으로 지금까지 a=0, b=7을 사용했습니다.
•  p는 유한체의 위수입니다.
• G는 타원곡선 위의 한 점입니다.
• n은 점 G의 군에 대한 위수입니다.

 이어지는 글들에서는 secp256k1에서 미리 정의된 위 변수들의 값을 이용해 공개키와 개인키를 생성하여 디지털 서명을 하고 검증하는 내용을 다루게 됩니다. 이를 위해 다음 글에서는 공개키 암호화에 대해 먼저 다루겠습니다.

[비트코인 암호학] 3.1 공개키 암호화